Octobre 2019, 4e défi
le 27 de octubre de 2019 à 15:24, par Hébu
Je reprends le texte proposé:
"Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard
deux longueurs a et b mesurées en mètre avec 0 < a < b < 1."
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On dispose d’un câble (unique) et de deux nombres "au hasard" tels que 0<a<b<1. Il y a une premiere interrogation ici. Comment sont pris ces nombres (voir plus loin) ?
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"Coupons le câble en ces deux nombres."
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J’interprète ceci comme le fait d’en prendre une longueur a puis une longueur b. C’est d’un seul câble dont on dispose, on en tire un morceau de longueur a, reste 1-a, c’est sur ce reste qu’on prélève le morceau de longueur b. Pour en prendre une longueur b, laissant 1-b, il faudrait disposer de 2 câbles. Le restant du câble, longueur 1-a-b constituera le 3ème morceau, 3ème côté de l’hypothétique triangle.
Alors évidemment, si a+b> 1, on ne peut pas effectuer l’opération. Ca doit rentrer dans l’événement «construction impossible».
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"Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle
avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus ?"
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Si les morceaux, de longueur a, b, c peuvent construire un triangle, alors j’ai gagné. Sinon (ce sera le cas si les inégalités triangulaires ne sont pas respectées) je rencontre de nouveau l’événement «construction impossible».
Les inégalités triangulaires, avec la donnée de a, b, c=1-a-b, conduisent aux conditions 2a<1; 2b<1; 2(a+b)>1. (on remarque que la condition qu’on a rencontrée plus haut, savoir a+b<1, est redondante)
C’est à cet endroit que l’interrogation probabiliste surgit.
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Le texte dit "deux longueurs, 0 < a < b < 1". Si on admet que b est distribué uniformément entre 0 et 1, avec probabilité 0.5 on satisfait b<0.5. Et puisque a<b, alors l’inégalité a<0.5 est réalisée en même temps.
Reste la 3ème condition, a+b>0.5 soit a>0.5-b. Cela implique inévitablement b>0.25 (puisque aa>0.5-b)
La probabilité cherchée se réduit à P(0.25 < b < 0.5 et a+b > 0.5)
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Le calcul que j’avais proposé faisait l’impasse sur la condition a<b, supposant a et b uniformément distribués sur [0-1]. Si on demande a<b, on doit se donner la façon dont on choisit a et b.
Par exemple, une méthode sera: "je tire au hasard deux nombres x et y, je prends le plus petit je l’appelle a, l’autre sera b."
Autre méthode, "je tire b uniformément entre 0 et 1, puis a entre 0 et b"
Ou encore "je tire 2 nombres x et y uniformes sur [0-1], je fais b=x, a=xy"
Ou encore "je tire x et y, uniformes, je fais a=x, b=x+y".
Ou encore ...
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Chacune de ces méthodes me fournira un couple (a,b) satisfaisant 0<a<b<1, distribué aléatoirement,
mais P($0.25 < b < 0.5$ et $a+b > 0.5$) sera a priori différent dans chacun des cas !
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Désolé pour ce texte un peu long. J’ai réfléchi à ceci cette nuit - et avec le changement d’heure, j’ai eu du temps supplémentaire !
