25 octobre 2019

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  • Octobre 2019, 4e défi

    le 27 octobre 2019 à 15:24, par Hébu

    Je reprends le texte proposé :

    "Prenons un câble d’un mètre de long et choisissons au hasard
    deux longueurs a et b mesurées en mètre avec 0 < a < b < 1."
    .

    On dispose d’un câble (unique) et de deux nombres "au hasard" tels que 0<a<b<1. Il y a une premiere interrogation ici. Comment sont pris ces nombres (voir plus loin) ?

    .

    "Coupons le câble en ces deux nombres."

    .
    J’interprète ceci comme le fait d’en prendre une longueur a puis une longueur b. C’est d’un seul câble dont on dispose, on en tire un morceau de longueur a, reste 1-a, c’est sur ce reste qu’on prélève le morceau de longueur b. Pour en prendre une longueur b, laissant 1-b, il faudrait disposer de 2 câbles. Le restant du câble, longueur 1-a-b constituera le 3ème morceau, 3ème côté de l’hypothétique triangle.

    Alors évidemment, si a+b> 1, on ne peut pas effectuer l’opération. Ca doit rentrer dans l’événement « construction impossible ».

    .
    "Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle
    avec les trois morceaux de câble ainsi obtenus ?"

    .
    Si les morceaux, de longueur a, b, c peuvent construire un triangle, alors j’ai gagné. Sinon (ce sera le cas si les inégalités triangulaires ne sont pas respectées) je rencontre de nouveau l’événement « construction impossible ».

    Les inégalités triangulaires, avec la donnée de a, b, c=1-a-b, conduisent aux conditions 2a<1 ; 2b<1 ; 2(a+b)>1. (on remarque que la condition qu’on a rencontrée plus haut, savoir a+b<1, est redondante)

    C’est à cet endroit que l’interrogation probabiliste surgit.

    .
    Le texte dit "deux longueurs, 0 < a < b < 1". Si on admet que b est distribué uniformément entre 0 et 1, avec probabilité 0.5 on satisfait b<0.5. Et puisque a<b, alors l’inégalité a<0.5 est réalisée en même temps.

    Reste la 3ème condition, a+b>0.5 soit a>0.5-b. Cela implique inévitablement b>0.25 (puisque aa>0.5-b)

    La probabilité cherchée se réduit à P(0.25 < b < 0.5 et a+b > 0.5)

    .
    Le calcul que j’avais proposé faisait l’impasse sur la condition a<b, supposant a et b uniformément distribués sur [0-1]. Si on demande a<b, on doit se donner la façon dont on choisit a et b.

    Par exemple, une méthode sera : "je tire au hasard deux nombres x et y, je prends le plus petit je l’appelle a, l’autre sera b."

    Autre méthode, "je tire b uniformément entre 0 et 1, puis a entre 0 et b"

    Ou encore "je tire 2 nombres x et y uniformes sur [0-1], je fais b=x, a=xy"

    Ou encore "je tire x et y, uniformes, je fais a=x, b=x+y".

    Ou encore ...
    .

    Chacune de ces méthodes me fournira un couple (a,b) satisfaisant 0<a<b<1, distribué aléatoirement,
    mais P($0.25 < b < 0.5$ et $a+b > 0.5$) sera a priori différent dans chacun des cas !

    .
    Désolé pour ce texte un peu long. J’ai réfléchi à ceci cette nuit - et avec le changement d’heure, j’ai eu du temps supplémentaire !

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