Avec $i$ nombres impairs parmi les $5$ on obtient les $i(5-i)=4$ sommes impaires $9,11,13,15$
Cette équation admet deux solutions : $i=1$ ou $i=4$. Dans tous les cas on a $4$ nombres de même parité, et un nombre $m$ de parité différente des autres.
Comme les $4$ sommes impaires sont en progression arithmétique de raison $2$, en leur retranchant $m$ on voit que c’est aussi le cas pour les $4$ nombres de même parité.
On peut donc les écrire $n, n+2, n+4, n+6$. Et $m+n=9$ donc $m=9-n$.
On remarque que les $4$ nombres donnent au moins deux fois la même somme : $n + (n+6) = (n+2)+(n+4)=2n+6$, ce qui correspond forcément à $4$, seul doublon dans la liste de leurs sommes.
D’où $2n+6=4$, puis $n=-1$
On en déduit que les $5$ nombres cherchés ne peuvent être que $-1, 1, 3, 5, 10$, qui donnent bien les $10$ sommes demandées.

Des 10 combinaisons, 4 sont impaires. Cela implique que sur les 5 nombres, il y a soit 4 pairs et un impair, soit 4 impairs et un pair.
Les sommes des plus petits nombres sont :
0,
2, 4,
4, 6 et 8
donc les plus petits nombres forment une suite de raison 2
ce qui laisse comme possibilité -1, 1, 3 et 5.
Reste notre unique nombre pair, qui est 10.

Si on classe les 5 nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ par ordre croissant, les 3 sommes $a+b$, $a+c$, $b+c$ sont nécessairement minimales et en ordre croissant. Elle sont donc sont égales à $0$, $2$ et $4$ ce qui donne $a=-1$, $b=1$ et $c=3$. la somme $a+d$ est nécessairement la plus petite des sommes restantes donc $4$ d’où $d=5$, $b+d=6$, $c+d=8$. Même chose pour $e+a=9$ d’où $e=10$, $e+b=11$, $e+c=13$ et $d+e=10$.

Soit a <= b <= c <=d <= e
Si on fait la somme des petites sommes on a exactement la sommes de tous les éléments répétée 4 fois.
0 + 2+ 4+ 4 + 6 + 8 + 9 + 11 + 13 + 15 = 72
On obtient doc a + b + c + d + e = 18
Il est évident que a + b = 0 et d + e = 15, et aussi que a + c = 2 et c + e = 13

Or a + b + c + d + e = (a + b) + c + (d + e)

on en déduit que c = 18 - 0 - 15, c = 3

comme c + e = 13, on en déduit e = 10, puis d= 5 et, enfin a = - 1, b = 1

Réponse : -1, 1, 3, 5, 10