5.6.13

8 de junio de 2020

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Figures sans paroles

Le 8 de junio de 2020, par Arseniy Akopyan - 5 commentaires

5.6.13

le 9 de junio de 2020 à 11:26, par Sidonie

ABCD est un quadrilatère inscrit dans le cercle de centre O. (AC)$\cap$(BD) = E. H,I,J et K sont les centres des cercles AOB, BOC, COD et DOA. Il s’agit de montrer que les droites (OE), (HJ) et (IK) sont concourantes.
Cas particuliers : ABCD est un rectangle ou un trapèze isocèle. S’il est rectangle O et E sont confondus H,I,J et K sont sur les médianes qui se coupent en O. Si (AB)//(CD) alors H, E, O, J sont alignés et on se ramène à 2 droites sécantes.
Cas général (AB)$\cap$(CD) = F et (AD)$\cap$(BC) = G. Les cercles (AOB) et (COD) se recoupent en L et les cercles (BOC) et (DOA) se recoupent en M . A’ et D’ sont les symétriques de A et D par rapport à O.
(LB,LC) = (LB,LO) + (LO,LC) = (AB,AO) +(DO,DC) = (AB,AA’) + (DD’,DC) = $\frac {\pi}{2}$ - (A’A,A’B) +$\frac {\pi}{2}$ - (D’C,D’D) =
= $\pi$ - (A’A,A’B) – (D’C,D’D) = (D’D,D’C) + (A’B,A’A) = (BD,BC) + (CB,CA) = (BD,CA) = (EB,EC)
Ce qui prouve que E est sur le cercle (BOC) il est donc aussi sur (DOA) et L devient le point de Miquel du quadrilatère complet AECBGD dont on sait grâce à Hébu qu’il forme le triangle rectangle ELO.
On démontre de la même façon que EMO est triangle rectangle et que E,L,O et M sont sur un cercle dont le centre est le milieu P de [EO].
Les cercles (AOB), (COD) et (ELO) se coupent en O et L donc leurs centres H,P et J sont alignés et de manière identique I, P et K sont aussi alignés.
Document joint : fsp_5.6.13.jpg
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5.6.13

le 9 de junio de 2020 à 16:33, par Hébu

Bonjour,
J’avoue ne pas arriver à suivre. Il doit y avoir une confusion de lettre, qui me trouble (incapable que je suis de rétablir le bon choix). Vous écrivez
.

(LB,LC) = ... = (EB,EC)
Ce qui prouve que E est sur le cercle (BOC).

.
Pour moi, il me semble que (LB,LC) = (EB,EC) (là ok) implique que E et L sont sur un cercle passant par B et C ? Pas de liaison avec O ? Et comment en déduire qu’il est aussi sur DOA ?

Ensuite, le quadrilatère complet. «AECBGD» C’est toujours compliqué un quadrilatère complet, qui sont les points de quadrilatère de base, qui sont les autres. Là je comprends qu’il s’agirait du quadrilatère GAEB, augmenté de C et D. L serait alors le point de Miquel correspondant aux cercles (AED), (GBD), (BEC) et (GAC). J’ai bon ?

Toutes ces questions sont sûrement bêtes, mais je suis là dessus depuis un moment...

.
Merci d’avance !
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5.6.13

le 9 de junio de 2020 à 16:54, par Sidonie

Pan sur le bec, en effet, je démontre que B,C,E,L sont cocycliques, de même A,D,E,L donc O n’a rien à faire dans cette affaire, et vous avez bien interprété le quadrilatère complet que j’ai toujours difficulté à nommer, je retiens votre méthode pour l’avenir. Avez-vous remarqué que la fin de la ribambelle n’est que la version droites orientées d’une propriété que vous m’avez fait découvrir sur un angle intérieur à un cercle ? Et, grand merci pour la relecture dont à l’évidence, j’ai de plus en plus besoin.
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5.6.13

le 15 de junio de 2020 à 17:23, par Hébu

L’idée vient, pour une preuve alternative, de reproduire l’argumentation proposée au 5.6.14. $JH$, la ligne des centres des cercles $AOB$ et $COD$, est perpendiculaire à $OL$. Et puisque $ELO$ est un triangle rectangle, alors $EL$ et $HJ$ sont parallèles. $HJ$, coupant $OL$ en son milieu, coupe donc $OE$ en son milieu également. Même raisonnement côté $IK$, et ainsi $IK$ et $HJ$ se coupent en $P$, milieu de $EO$ (où se couperont, dans la figure suivante, les autres segments reliant les centres des mêmes cercles...).

En fait, c’est assez troublant. Aurait-on deux fois démontré le même résultat ? La «dualité» entre les points $O$ et $E$ doit avoir une cause profonde
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5.6.13

le 9 de junio de 2020 à 17:10, par Hébu

eh bien me voila au moins rassuré ! Je subodorais effectivement une confusion E/O, sans être sûr de moi. Pour ce qui est du quadrilatère, c’est toujours un casse-tête, j’ai pêché quelque part l’idée du quadrilatère complété, ça me semble précis..

.
Et concernant la manipulation des droites orientées, je me régale de toute nouvelle utilisation.

Quant à ce qui concerne la relecture, j’ai passé ma vie professionnelle à demander (et proposer) des relectures, que mes collègues acceptaient rarement, ils y voyaient un risque de critique plutôt qu’une source d’entraide. Donc, je pense que nous avons tous un risque d’errements, que seule la relecture par un tiers peut corriger !

Mais cet aparté nous éloigne d’Euclide.
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