5.6.13

Figures sans paroles

Le 8 juin 2020, par Arseniy Akopyan - 5 commentaires

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• 5.6.13

  le 9 juin 2020 à 11:26, par Sidonie

  ABCD est un quadrilatère inscrit dans le cercle de centre O. (AC)$\cap$(BD) = E. H,I,J et K sont les centres des cercles AOB, BOC, COD et DOA. Il s’agit de montrer que les droites (OE), (HJ) et (IK) sont concourantes.
  Cas particuliers : ABCD est un rectangle ou un trapèze isocèle. S’il est rectangle O et E sont confondus H,I,J et K sont sur les médianes qui se coupent en O. Si (AB)//(CD) alors H, E, O, J sont alignés et on se ramène à 2 droites sécantes.
  Cas général (AB)$\cap$(CD) = F et (AD)$\cap$(BC) = G. Les cercles (AOB) et (COD) se recoupent en L et les cercles (BOC) et (DOA) se recoupent en M . A’ et D’ sont les symétriques de A et D par rapport à O.
  (LB,LC) = (LB,LO) + (LO,LC) = (AB,AO) +(DO,DC) = (AB,AA’) + (DD’,DC) = $\frac {\pi}{2}$ - (A’A,A’B) +$\frac {\pi}{2}$ - (D’C,D’D) =
  = $\pi$ - (A’A,A’B) – (D’C,D’D) = (D’D,D’C) + (A’B,A’A) = (BD,BC) + (CB,CA) = (BD,CA) = (EB,EC)
  Ce qui prouve que E est sur le cercle (BOC) il est donc aussi sur (DOA) et L devient le point de Miquel du quadrilatère complet AECBGD dont on sait grâce à Hébu qu’il forme le triangle rectangle ELO.
  On démontre de la même façon que EMO est triangle rectangle et que E,L,O et M sont sur un cercle dont le centre est le milieu P de [EO].
  Les cercles (AOB), (COD) et (ELO) se coupent en O et L donc leurs centres H,P et J sont alignés et de manière identique I, P et K sont aussi alignés.

  Document joint : fsp_5.6.13.jpg
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