17 août 2020

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  • 5.7.5

    le 17 août 2020 à 15:59, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère convexe. E et F d’une part, et G et H sont les projections orthogonales de A d’une part, et de C sur (BC) et (CD) d’une part, et sur (AB) et (AD). (AE) $\cap$ (CG) = I. (AF) $\cap$ (CH) = J. (BD) $\cap$ (IJ) = K.
    Il faut démontrer que K $\in$ (FG) et K $\in$ (EH).
    Le cercle de diamètre [AC] passe par E,F,G et H. Le cercle de diamètre [BI] passe par E et G. Le cercle de diamètre [DJ] passe par F et H. L est le deuxième point d’intersection entre (EH) et le cercle (BEG).
    En passant de cercle en cercle on a (HL,HJ) = (GE,GI) = (LH,LI) et donc (HJ) // (IL).
    Dans les triangles ABC et ADC I et J sont les intersections de deux hauteurs : ils sont donc les orthocentres et (BI) et ((DJ) sont aussi des hauteurs perpendiculaires à (AC) et donc parallèles entre elles. Il existe donc une homothétie de centre K qui transforme le diamètre [DJ] en diamètre [BI] et donc le cercle (DFH) en cercle (BEG).
    Dans cette homothétie de centre K l’image de la corde (HJ) est une corde parallèle passant par J donc L est l’image de H et on a bien K $\in$ (EH).
    Une même démonstration se fait avec (FG)

    Document joint : fsp_5.7.5.jpg
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    • 5.7.5

      le 18 août 2020 à 17:10, par Hébu

      Belle utilisation de l’homothétie. Bravo !

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