Terrible si on se lance dans des calculs algébriques du type N²=2019 2019 ... 2019 = 2019 (10001...10001) et trouver combien de 2019 il faut pour une racine carré entière!
... je vois de plus que soit tout le monde est parti en vacances, soit on sèche tous.

Pourtant la solution est diablement facile à partir du moment qu’on sait s’il y a une solution ou pas :-)
Effectivement, on pourrait vérifier l’existence d’un carré se terminant en 2019 ? ou plus simplement en 09?

J’ai ramé pour trouver une solution simple ! Donc, après plusieurs approches beaucoup plus complexes (consistant à écrire le nombre de différentes façons et à regarder ce qui se passe modulo $3$, $7$, $13$, $673$ et leurs carrés...) On peut simplement observer que si un tel nombre $a$ (impair) est un carré, alors il est le carré d’un nombre impair $k\equiv1\bmod 4$ ou $k\equiv3\bmod4$. Mais alors $a=k^2\equiv1\bmod 4$ dans tous les cas. Or $a$ est de la forme $100q+19\equiv3\bmod4$.

Je découvre le problème et voici ma proposition :
Si $n^2$ se termine par $19$, alors $n^2$ se termine par $9$.
Si $n^2$ se termine par $9$, alors $n$ se termine par $3$ ou $7$.
On distingue alors 2 cas :
– si $n=10k+3$ alors :
$n^2=100k^2+60k+9=20(5k^2+3k)+9$ donc $n^2$ est de la forme $20K+9$.
Le chiffre des dizaines de $n^2$ est donc toujours pair.
– si $n=10k+7$ alors :
$n^2=100k^2+140k+49=100k^2+140k+40+9=20(5k^2+7k+2)+9$ donc $n^2$ est de la forme $20K+9$.
Le chiffre des dizaines de $n^2$ est donc toujours pair.
Conclusion : Un carré d’entier ne peut pas se terminer par $19$ et la réponse à la question posée est NON.