24 de julio de 2020

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  • Juillet 2020, 4e défi

    le 24 de julio de 2020 à 14:31, par pogarreau

    Terrible si on se lance dans des calculs algébriques du type N²=2019 2019 ... 2019 = 2019 (10001...10001) et trouver combien de 2019 il faut pour une racine carré entière!
    ... je vois de plus que soit tout le monde est parti en vacances, soit on sèche tous.

    Pourtant la solution est diablement facile à partir du moment qu’on sait s’il y a une solution ou pas :-)
    Effectivement, on pourrait vérifier l’existence d’un carré se terminant en 2019 ? ou plus simplement en 09?

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    • Juillet 2020, 4e défi

      le 24 de julio de 2020 à 15:19, par Niak

      En calculant les $n^2 \bmod 100$ pour tout $0\leq n<100$, on peut en effet remarquer que les carrés d’entiers se terminent forcément par l’une des combinaisons suivantes :
      $\{00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96\}$
      Et $19$ ne figure pas dans le lot.

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  • Juillet 2020, 4e défi

    le 24 de julio de 2020 à 15:08, par Niak

    J’ai ramé pour trouver une solution simple ! Donc, après plusieurs approches beaucoup plus complexes (consistant à écrire le nombre de différentes façons et à regarder ce qui se passe modulo $3$, $7$, $13$, $673$ et leurs carrés...) On peut simplement observer que si un tel nombre $a$ (impair) est un carré, alors il est le carré d’un nombre impair $k\equiv1\bmod 4$ ou $k\equiv3\bmod4$. Mais alors $a=k^2\equiv1\bmod 4$ dans tous les cas. Or $a$ est de la forme $100q+19\equiv3\bmod4$.

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    • Juillet 2020, 4e défi

      le 24 de julio de 2020 à 16:47, par François

      Bravo ! Un entier impair ne peut être un carré que s’il est congru à 1 modulo 4. La notion de nombre antique n’était qu’un piège dans lequel nous sommes tous tombés. Qu’en est-il alors si on remplace $2019$ par $2017$ par exemple ?

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      • Juillet 2020, 4e défi

        le 24 de julio de 2020 à 18:50, par Blaxapate

        $n^2\in\left\{0,1,4,5,6,9\right\} \mod{[10]}$.

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  • Juillet 2020, 4e défi

    le 27 de julio de 2020 à 11:22, par drai.david

    Je découvre le problème et voici ma proposition :
    Si $n^2$ se termine par $19$, alors $n^2$ se termine par $9$.
    Si $n^2$ se termine par $9$, alors $n$ se termine par $3$ ou $7$.
    On distingue alors 2 cas :
    – si $n=10k+3$ alors :
    $n^2=100k^2+60k+9=20(5k^2+3k)+9$ donc $n^2$ est de la forme $20K+9$.
    Le chiffre des dizaines de $n^2$ est donc toujours pair.
    – si $n=10k+7$ alors :
    $n^2=100k^2+140k+49=100k^2+140k+40+9=20(5k^2+7k+2)+9$ donc $n^2$ est de la forme $20K+9$.
    Le chiffre des dizaines de $n^2$ est donc toujours pair.
    Conclusion : Un carré d’entier ne peut pas se terminer par $19$ et la réponse à la question posée est NON.

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