2 de octubre de 2020

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  • Octobre 2020, 1er défi

    le 2 de octubre de 2020 à 08:22, par François

    On a $t_3=0$, donc $t_{2n+1}=0$. Pour simplifier, je note $v_n=t_{2n}$. La relation de récurrence devient $v_n=\displaystyle \left (\frac{2n-3}{2n-1} \right) v_{n-1}$ En faisant le produit des rapports $\displaystyle \frac {v_k}{v_{k-1}}$ de $2$ à $n$ on obtient $\displaystyle \prod_{k=2}^{k=n} \frac {v_k}{v_{k-1}}=\frac {v_n}{v_{n-1}}\frac {v_{n-1}}{v_{n-2}}\cdots \frac{v_2}{v_1} = \frac{2n-3}{2n-1}\frac{2n-5}{2n-3}\cdots\frac{1}{3}$. En simplifiant $v_n=t_{2n}=\displaystyle \frac {1}{2n-1}$ et $t_{2020}=\displaystyle \frac {1}{2019}$

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  • Octobre 2020, 1er défi

    le 2 de octubre de 2020 à 08:31, par Al_louarn

    On trouve $t_4=\frac{1}{3}t_2=\frac{1}{3}$, et plus généralement $t_{2n}=\frac{1}{2n-1}$, ce qui est facile à montrer par récurrence :
    $t_{2n+2}=\frac{2n + 2 - 3}{2n + 2 - 1}t_{2n}=\frac{2n - 1}{(2n + 2) - 1}\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{(2n + 2) - 1}$
    Ce qui donne $t_{2020}=\frac{1}{2019}$

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La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.