4 cercles de centres M, N, P et Q sont tangents intérieurement en A, B, C et D à un cercle de centre O et de rayon R. On note a, b, c, d, e et f les bras de tangentes extérieures communes à ces 4 cercles pris 2 à 2 (voir figure). Il s’agit de prouver ac + bd = ef.
Dans le 5.5.6 on a vu que A, B, C et D étant cocycliques on a AB.CD + AD.BC = AC.BD (1)
Appliquant le théorème d’Al Kashi à OAB puis à OMN il vient
AB² = 2R²(1 – cos $\alpha$) et par suite (1 – cos $\alpha$) =$\frac {AB^2} {2R^2}$ (2)
MN² = OM² + ON² - 2OM.ON cos $\alpha$
En appliquant le th de Pythagore on a :
a² = EF² = MN² - (ME – NF)² or ME – NF = MA – NB = ON – OM donc
a² = MN² - (ON – OM)² = OM² + ON² - 2OM.ON cos $\alpha$ – ON² + 2OM.ON – OM²
a² = 2OM.ON (1 – cos $\alpha$) = AB²x $\frac {OM.ON} {R^2}$ d’après (2)
On aura de même c² = CD²x $\frac {OP.OQ} {R^2}$ et donc
ac = AB.CD x $\frac {\sqrt {OM.ON.OP.OQ}} {R^2}$ = k x AB.CD
En renouvelant avec bd et ef on retrouvera le même coefficient k.
ac + bd = k AB.CD + k AD.BC = k (AB.CD + AD.BC) = k AC.BD = ef

Prodigieux ! Ce qui est bien, c’est que l’égalité recherchée découle, via cette manipulation, du résultat du 5.5.6 (qui est, il me semble avoir vu ça, le « théorème de Ptolémée »). Mais c’est très virtuose, bravo !