Les figures deviennent de plus en plus tordues. 3, 4, puis 5 cercles ! Même avec Geogebra, et même grâce au procédé génial donné par Sidonie (cf. 5.5.7, repris dans la précédente 6.2.10), je me bats depuis 2 jours pour aboutir à quelque chose de compréhensible...

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Ceci étant, l’analogie avec les cas précédents me conduit à subodorer qu’il faut compléter la figure par une condition qui en est à première vue absente, à savoir que le pentagone intérieur doit être circonscriptible. Moyennant quoi je pense que la preuve du 6.2.10 devrait pouvoir tenir (ceci n’est pas une démonstration),

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Et, puisque j’en parle, d’où vient cette méthode, présentée au 5.5.7 ? Sidonie dit modestement qu’elle est inspirée de François Viète. Mais la solution qu’il donne pour le « problème DDC », que l’on trouve sous le vocable des « translations parallèles », consiste à tracer les deux parallèles, puis à switcher sur le « problème PDD ».

Faut-il parler de la méthode de Sidonie et Viète ?

J’ai tracé 5 cercles tangents au grand cercle puis les tangentes nécessaires pour faire apparaître le pentagone étoilé, sans besoin de la construction que vous m’attribuez, à tort, puisque je l’ai trouvée sur internet, je me suis contentée de l’adapter.
Les droites ne sont pas concourantes.
Si le pentagone est circonscriptible alors tous les arguments du 6.2.10 s’appliquent puisque les bissectrices du pentagone intérieur et de l’étoile sont concourantes au centre du cercle inscrit.
Cela restera vrai pour tout polygone circonscriptible, en particulier pour le triangle que vous avez finement remarqué.