5 avril 2021

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  • 6.4.3

    le 5 avril à 15:30, par Hébu

    On se donne quatre points $A,B,C,D$ sur on cercle, de centre $O$. On note $E$ l’intersection des diagonales ($AC$ et $BD$). La perpendiculaire à $OE$ coupe $AB$ en $F$ et $CD$ en $G$.

    Il s’agit d’établir que $E$ est le milieu du segment $FG$.

    .

    Je note $H$ l’intersection de $(AB)$ et $(CD)$, et $I$ l’intersection de $(AD)$ et $(BC)$. $ABCD$, complété de $H,I$ est un quadrilatère complet inscriptible.

    .
    On a déjè rencontré cette configuration dans la figure 5.6.5 (ou peut-être avant), et on a montré que la droite qui joint le centre du cercle circonscrit au point d’intersection des diagonales est perpendiculaire avec la troisième diagonale : ici, $(OE)$ et $(HI)$ sont perpendiculaires (cf. une remarque de Sidonie : $E$ est l’orthocentre du triangle $HOI$).

    De sorte que $(FG)$ et $(HI)$ sont parallèles.

    .
    Maintenant, puisqu’on a un quadrilatère complet, alors $(HB), (HE), (HC), (HI)$ est un faisceau harmonique. $(FG)$, la parallèle à $(HI)$, coupe ce faisceau en $E$ de sorte que $E$ est le milieu de $FG$.

    Document joint : idm6-4-3.jpg
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    • 6.4.3

      le 6 avril à 09:35, par Sidonie

      Jolie démonstration, rondement menée, avec réemploi judicieux. Pas de fausse modestie : Bravo !!!

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      • 6.4.3

        le 6 avril à 11:12, par Hébu

        je suis quand même étonné de devoir déployer tout cet arsenal, la figure semblant si simple !

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