Bonjour,
de toute façon, le fait que $a$ divise $b+c$ exclut la solution où $a=0$, non ?

Oups ! ligne 4 lire $a$ et $b$

Je pense avoir une réponse pas très élégante.
Supposons $a>1$ alors il n’y a pas de solution.
On remarque que dans cette hypothèse $a$ < $b$ < $c$ d’après la remarque 2 de mon post précédent.
On a :
$c$ divise $a+b$ donc $c\le a+b$. Par ailleurs, puisque $b$ divise $a+c$, il existe $k$ tel que
$kb=a+c \le 2a+b$ et donc $(k-1)a \le (k-1)b \le 2a$
ce qui nous laisse peu de valeurs possibles pour $k$.
si $k=1$, alors $b=a+c$ ce qui est impossible puisque $b$ < $c$.
si $k=3$, alors $a=b$ ce qui est impossible.
si $k=2$, alors $2b=a+c$ et $a$ divise $b+c=3b-a$ donc $a$ divise $3b$ et comme $a$ est premier avec $b$, $a=3$, de plus d’après les inégalités précédentes, $b$ est strictement compris entre $3$ et $6$ .

Pour $b=4$, $c=5$ et $(3,4,5)$ ne convient pas.
Pour $b= 5$, $c=7$ et $(3,5,7)$ ne convient pas.
Donc pas de solution pour $a>1$.

Vous écrivez 1) Si $a=0$ alors on a la solution triviale $(0,0,0)$.
Mais le fait que $a$ divise $b+c$ exclut de fait cette solution car on ne peut pas avoir $a=0$...
Il n’en demeure pas moins qu’il n’est pas évident de prouver que les trois solutions restantes sont effectivement les seules...

Je pense avoir la preuve qu’il n’y a que ces 3 solutions (outre $(0,0,0)$ ) :
$1\leq a\leq b\leq c\Rightarrow a+b\leq 2c$.
Ainsi, $c|a+b\Rightarrow a+b=c$ ou $a+b=2c$.
Cas n°1 : Si $a+b=2c$ alors $a=c$ et $b=c$, donc $a=b=c$.
Or $a$, $b$ et $c$ ne doivent pas avoir de diviseur premier commun.
On en déduit la solution $(a,b,c)=(1,1,1)$.
Cas n°2 : Si $a+b=c$, alors $a$, $b$ et $c$ sont premiers entre eux deux à deux.
En effet, si deux des trois nombres avaient un diviseur premier commun, alors le 3^ème l’aurait aussi, puisque $a+b=c$. Or, ceci est impossible par hypothèse.
Par ailleurs :
• $a|b+c\Rightarrow a|a+b+c$
• $b|a+b\Rightarrow b|a+b+c$
• $c|a+b\Rightarrow c|a+b+c$
Et comme $a$, $b$ et $c$ sont premiers entre eux deux à deux, $abc|a+b+c$, et par conséquent, $abc\leq a+b+c$.
De plus, $a+b+c\leq 3c$, donc $abc\leq 3c$, d’où $ab\leq 3$.
Il ne reste plus qu’à tester les triplets $(a,b,a+b)$ vérifiant $ab\leq 3$, avec $a,b\in \mathbb{N}^{*}$ et $a\leq b$, soient : $(1,1,2)$, $(1,2,3)$ et $(1,3,4)$.
Or, seuls $(1,1,2)$ et $(1,2,3)$ conviennent.
CQFD