30 avril 2021

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  • Avril 2021, 5e défi

    le 30 avril 2021 à 09:16, par Christophe Boilley

    Existe-t-il pour tout entier m > 0 un unique polynôme minimal à coefficients entiers et dont les coefficients sont globalement premiers entre eux (pas forcément deux à deux) dont toutes les valeurs sur Z soient divisibles par m ? Et si oui, est-il forcément scindé ? unitaire ?

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    • Avril 2021, 5e défi

      le 30 avril 2021 à 09:37, par Christophe Boilley

      Pour vraiment avoir un polynôme minimal (donc unicité), il vaut mieux avoir des coefficients dans Z/mZ ou dans N.

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  • Avril 2021, 5e défi

    le 30 avril 2021 à 09:27, par drai.david

    $x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^2+4)$.
    Soit $X=x^2$.
    $x^4-5x^2+4=X^2-5X+4=(X-4)(X-1)=(x^2-4)(x^2-1)$.
    D’où $x^4-5x^2+4=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.
    Ainsi, $x^5-5x^3+4x=x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)$.
    Parmi cinq entiers consécutifs, il y a toujours au moins un multiple de 2 et un multiple de 4 distincts, un multiple de 3 et un multiple de 5.
    Ainsi leur produit est toujours multiple de $2\times 4\times 3\times 5=120$.
    Conclusion : Tout entier $n$ convient.

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    • Avril 2021, 5e défi

      le 1er mai 2021 à 11:49, par Niak

      Petite remarque au passage, vous montrez que $120 = 5!$ divise toujours le produit de $5$ entiers consécutifs.
      Plus généralement, $n!$ divise toujours le produit de $n$ entiers consécutifs :
      \[a(a+1)\cdots(a+n -1) = \frac{(a+n -1)!}{(a -1)!} = \binom{a+n -1}{n}\times n!\]

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