12 juillet 2021

3 messages - Retourner à l'article
  • 6.6.1

    le 12 juillet 2021 à 15:12, par Hébu

    Trois cercles, de centres $A,B,C$, et de même rayon $r$ se coupent en un point $E$. On note les autres intersections : $D$ (cercles $(a)$ et $(b)$), $F$ (cercles $(b)$ et $(c)$, $G$ (cercles $(a)$ et $(c)$.

    Le cercle passant par $D,F,G$ a même rayon $r$.

    .
    .
    On peut voir le point $E$, équidistant des points $A, B$ et $C$ comme le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. On pourrait donc ajouter un cercle supplémentaire, de centre $E$ et de même rayon $r$, cercle circonscrit à $ABC$.

    Les quadrilatères $ADBE$, $AGCE$, $CFBE$ sont des losanges : $AD // CF$, etc (parce que $AD // BE$, $BE//CF$). Le quadrilatère $ADFC$, dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur est un parallélogramme, et donc $DF$ et $AC$ sont aussi parallèles et de même longueur.

    Même traitement pour $AB$ et $FG$, $BC$ et $DG$. Ainsi, les deux triangles $ABC$ et $FGD$ sont égaux (tous côtés égaux). Leurs cercles circonscrits ont donc même rayon.

    Document joint : idm6-6-1.jpg
    Répondre à ce message
    • 6.6.1

      le 13 juillet 2021 à 00:16, par Sidonie

      Démonstration alternative à partir du triangle ABC dont E est le centre du cercle circonscrit et D, F et G ses symétriques par rapport à (AB), (BC) et (CA).
      H est l’orthocentre dont les symétriques I, J et K par rapport à (AB), (BC) et (CA) appartiennent au cercle circonscrit.
      E et I sont symétriques de D et H par rapport à (AB) donc EI = HD. On aura de même EJ = HF et EK = HG. Donc D, F et G sont sur un cercle de centre H, de même rayon que le cercle circonscrit et donc que les 3 autres.

      Document joint : fsp_6.6.1.jpg
      Répondre à ce message
      • 6.6.1

        le 13 juillet 2021 à 11:49, par Hébu

        Très astucieux, et très joli ! J’achète !!!

        Répondre à ce message
Pour participer à la discussion merci de vous identifier : Si vous n'avez pas d'identifiant, vous pouvez vous inscrire.