Oui, bien sûr. Et la démonstration est indifférente au cas de figure et fonctionne dans tous les cas : en appelant P, Q et R les trois points de contact (sans préciser dans quel ordre) et S une sécante aux trois cercles issue de P, la corde découpée sur S par le cercle de diamètre QR et la projection sur S du segment QR ont même milieu (car le milieu de la projection est la projection du milieu) ; et le projeté de Q (respectivement de R) se trouve sur le cercle de diamètre PQ (respectivement PR) à cause des angles droits.

Votre figure idm647bis.jpg est bien ce que j’avais en tête lorsque je remarquais que la propriété subsiste. Mais, vous ayant proposé ensuite une démonstration commune aux deux cas, je m’aperçois maintenant que cette démonstration n’a utilisé ni l’alignement des centres, ni le fait que les cercles sont tangents. Cet argument prouve donc la proposition suivante, qui généralise à la fois la figure proposée et la vôtre : Étant donné trois points$\,$ P, Q et$\,$ R dans le plan et une droite passant par$\,$ P, qui coupe le cercle de diamètre$\,$ QR en deux points$\,$ U et$\,$ V, et qui recoupe le cercle de diamètre$\,$ PQ en$\,$ Q’ et le cercle de diamètre$\,$ PR en$\,$ R’, les segments$\,$ UV et$\,$ Q’R’ ont le même milieu.

Mais, comme vous l’avez fort justement dit, un tel énoncé est sans intérêt : l’intervention des cercles de diamètres PQ et PR uniquement pour construire les projections Q’ et R’ de Q et R sur la sécante n’est là que pour ajouter un semblant de complication, sans offrir de nouveauté par rapport à 6.7.4.