24 de enero de 2010

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 25 de enero de 2010 à 06:42, par ducanh

    Bonjour,

    Je me demande depuis longtemps cette question : quel est le sens du mot «hyperbolique» dans «une variété hyperbolique d’après le sens de Kobayashi»?. Connaissez-vous quelque raison de ce terme ?

    Merci pour votre réponse.

    Cordialement.

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 25 de enero de 2010 à 14:52, par Jacques Lafontaine

    dans les cas les plus simples, évoqués dans ce billet,
    quand on dit hyperbolique c’est qu’il y a une hyperbole
    quelque part

    exemple : le plan hyperbolique, comme j’ai tenté de l’expliquer.

    Il se trouve que le plan hyperbolique a pris une telle importance que maintenant il faut souvent prendre les choses
    «au second degré» et hyperbolique peut vouloir dire
    en relation avec le plan hyperbolique. Par exemple,
    il y a une métrique naturelle sur un groupe donné par générateurs et relations, la «métrique de Cayley»,
    et les groupes hyperboliques de Gromov sont ceux
    pour lesquels cette métrique ressemble (dans un sens précis)
    à la métrique du plan hyperbolique.

    Avant d’en venir à Kobayashi, il faut rappeler que le modèle du plan hyperbolique favori des analystes complexes
    est le disque de Poincaré, dont la métrique
    a une propriété merveilleuse
    (fausse pour le plan complexe): toute application biholomorphe est une isométrie.

    En utilisant des applications holomorphes du disque de Poincaré dans une variété complexe V,
    on peut définir une pseudo-distance sur V (dite de Kobayashi), qui peut très bien être identiquement nulle,
    mais qui peut aussi être une vraie distance
    (c’est ça l’hyperbolicité à la Kobayashi).

    Le disque de Poincaré en est l’exemple le plus simple.

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    • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

      le 26 de enero de 2010 à 05:41, par ducanh

      Merci Monsieur, votre explication est très claire.

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 26 de enero de 2010 à 07:46, par Neotrad

    Bonjour,

    pourquoi n’arrive-t-on pas à faire une parabole (approximativement) ?
    En prenant en compte l’angle a formé par le cône de lumière de la torche on peut tout à fait projeter sur le mur de façon à former un angle a/2 avec la torche et le mur, d’où une parabole, non ?

    Bien cordialement.

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    • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

      le 26 de enero de 2010 à 08:45, par Jacques Lafontaine

      Bonjour,

      tout d’abord une petite rectification : ce qu’on obtient est un arc d’hyperbole. Le cône lumineux est en fait un demi-cône.
      Cela ne pose pas de problème pour l’ellipse mais on ne peut avoir qu’une branche d’hyperbole.

      avec un angle a/2 vous aurez une parabole bien sûr mais avec cet angle exactement. Dès qu’il change un tant soit peu
      on a une ellipse ou une branche d’hyperbole. C’est pour cela que la parabole est pratiquement
      impossible à réaliser car il s’agit d’une configuration instable.

      Très cordialement

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 27 de enero de 2010 à 18:49, par Pierre de la Harpe

    Sans en faire une autre histoire, il y a aussi cette phrase comique et conique
    de l’orfèvre Raymond Queneau :
    << Ca faut avouer, dit Trouscaillon qui,
    dans cette simple ellipse, utilisait hyperboliquement
    le cercle vicieux de la parabole. >>
    C’est au chapitre X de Zazie dans le métro,
    et c’est surement vrai puisque Trouscaillon est un flicmane.

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 28 de enero de 2010 à 13:11, par johann

    Bonjour,

    Ne peut-on pas identifier les coniques comme des cercles «vus d’une autre manière» ?

    Par exemple, l’ellipse est un cercle en mouvement rapide (relativiste) «observé» depuis un système de coordonnées immobile, autrement dit à un changement de variables près.

    De même l’hyperbole n’est-elle pas un cercle de rayon imaginaire ? Ou un cercle à un changement de variables (complexe) près...

    On peut bien sur généraliser aux sphères de toutes dimensions, mais comment dans cette optique interpréter les fonctions hyperboliques ou elliptiques ?

    Sont elles alors toutes des fonctions trigonométriques à changement de variable près ?

    Cordialement

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 29 de enero de 2010 à 13:52, par Jacques Lafontaine

    quelques éléments de réponse

    un cercle vu en perspective est une conique (voir le début du billet) et réciproquement toute conique non dégénérée est bien un cercle en perspective

    pas d’accord par contre avec l’interprétation relativiste
    si par ex dans un repère un cercle est parcouru par un point en mouvement uniforme, dans un repère en mouvement rectiligne uniforme par rapport au premier, on n’aura même pas une courbe fermée

    le passage des fonctions circulaires aux fonctions hyperboliques peut se faire grâce aux formules

    cosh x = cos ix sinh ix = i sin x

    cordialement

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ? ( -> Théorème de Hilbert)

    le 3 de enero de 2011 à 23:39, par S. Tummarello

    Bonjour,

    au sujet de l’impossibilité de représenter le plan hyperbolique dans l’espace euclidien, je ne trouve pas de définition de l’adjectif complet dans l’expression «surface complète».

    Merci pour les précisions que vous pourrez apporter.

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    • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ? ( -> Théorème de Hilbert)

      le 22 de enero de 2011 à 14:18, par Jacques Lafontaine

      sur une surface de l’espace euclidien il y a deux métriques
      «naturelles»
      a) la métrique induite par la métrique euclidienne
      b) la métrique dite intrinsèque. La distance de deux points est définie comme la borne inférieure des longueurs des courbes joignant des points et tracées sur la surface.
      De façon plus technique, c’est la distance définie par la structure riemannienne induite.
      «Complet» veut dire complet pour cette métrique (toute suite de Cauchy est convergente)
      La pseudo-sphère de Beltrami n’est pas complète : il y a un cercle de points singuliers.

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      • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ? ( -> Théorème de Hilbert)

        le 25 de enero de 2011 à 11:17, par S. Tummarello

        Bonjour,

        merci pour cette précision. À vrai dire, je ne cerne pas le lien avec la phrase précédente (« il n’est pas possible de réaliser le plan de Lobatchevski tout entier comme une surface de l’espace euclidien »). Le disque de Poincaré n’est-il pas complet ?

        Étienne Ghys cite dans son article « Poincaré et son disque » un autre (?) théorème de Hilbert affirmant qu’il n’existe pas de plongement isométrique (analytique) du disque de Poincaré dans l’espace euclidien (cf. le lien ci-dessous, page 11). Ce théorème ne décrit-il pas mieux l’ « impossibilité de représenter » le plan hyperbolique dans l’espace euclidien ?

        En vous remerciant pour vos réponses enrichissantes.

        Le lien vers l’article d’É. Ghys : http://www.umpa.ens-lyon.fr/ ghys/articles/disque-poincare.pdf

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 26 de enero de 2011 à 10:54, par Jacques Lafontaine

    c’est le même théorème dit autrement. Mon explication (de «deuxième niveau» puisque non accessible directement) était un peu lapidaire, je le reconnais volontiers.
    La métrique du disque de Poincaré est complète : les courbes qui vont jusqu’au bord sont de longueur infinie.
    Et une image isométrique sera complète comme lui au sens
    technique : toute suite de Cauchy est convergente.

    Il y a par contre une façon très simple (bien qu’un peu déroutante la première fois qu’on la rencontre) de réaliser
    le plan hyperbolique comme une nappe d’hyperboloïde de l’espace de Minkwoski ($R^3$ muni de $dx^2+dy^2-dt^2$).
    C’est bien expliqué dans un livre de D. Lehmann, Géométyrie élémentaire, qui a bien 20 ans.

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    • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

      le 26 de enero de 2011 à 16:28, par S. Tummarello

      Bonjour,

      merci pour cette réponse éclairante : on peut en effet lire sur de nombreux sites que l’on ne peut pas représenter le plan hyperbolique comme une surface complète dans l’espace euclidien à trois dimensions, mais une ambigüité demeure souvent quant au verbe « représenter ».

      Car le modèle de l’hyperboloïde offre bel et bien, vous le confirmez, une « représentation » possible (et complète) du plan hyperbolique, à condition bien entendu d’abandonner la métrique euclidienne au profit de la métrique que vous avez décrite.

      Cordialement,
      S. Tummarello.

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