24 janvier 2010

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 25 janvier 2010 à 14:52, par Jacques Lafontaine

    dans les cas les plus simples, évoqués dans ce billet,
    quand on dit hyperbolique c’est qu’il y a une hyperbole
    quelque part

    exemple : le plan hyperbolique, comme j’ai tenté de l’expliquer.

    Il se trouve que le plan hyperbolique a pris une telle importance que maintenant il faut souvent prendre les choses
    « au second degré » et hyperbolique peut vouloir dire
    en relation avec le plan hyperbolique. Par exemple,
    il y a une métrique naturelle sur un groupe donné par générateurs et relations, la « métrique de Cayley »,
    et les groupes hyperboliques de Gromov sont ceux
    pour lesquels cette métrique ressemble (dans un sens précis)
    à la métrique du plan hyperbolique.

    Avant d’en venir à Kobayashi, il faut rappeler que le modèle du plan hyperbolique favori des analystes complexes
    est le disque de Poincaré, dont la métrique
    a une propriété merveilleuse
    (fausse pour le plan complexe) : toute application biholomorphe est une isométrie.

    En utilisant des applications holomorphes du disque de Poincaré dans une variété complexe V,
    on peut définir une pseudo-distance sur V (dite de Kobayashi), qui peut très bien être identiquement nulle,
    mais qui peut aussi être une vraie distance
    (c’est ça l’hyperbolicité à la Kobayashi).

    Le disque de Poincaré en est l’exemple le plus simple.

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