24 janvier 2010

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  • Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

    le 26 janvier 2011 à 10:54, par Jacques Lafontaine

    c’est le même théorème dit autrement. Mon explication (de « deuxième niveau » puisque non accessible directement) était un peu lapidaire, je le reconnais volontiers.
    La métrique du disque de Poincaré est complète : les courbes qui vont jusqu’au bord sont de longueur infinie.
    Et une image isométrique sera complète comme lui au sens
    technique : toute suite de Cauchy est convergente.

    Il y a par contre une façon très simple (bien qu’un peu déroutante la première fois qu’on la rencontre) de réaliser
    le plan hyperbolique comme une nappe d’hyperboloïde de l’espace de Minkwoski ($R^3$ muni de $dx^2+dy^2-dt^2$).
    C’est bien expliqué dans un livre de D. Lehmann, Géométyrie élémentaire, qui a bien 20 ans.

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