22 octobre 2021

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  • Octobre 2021, 4e défi

    le 22 octobre 2021 à 09:37, par François

    Je trouve par des méthodes d’analyse que la valeur maximale est obtenue avec $a=b=c=4$ c’est à dire $112$.
    Dans l’expression , je remplace $a$ par $12-b-c$ et je cherche les poins critiques (points où les dérivées partielles s’annulent) dans le carré $0 \leq b \leq 12 , 0 \leq c \leq 12$ et miraculeusement je trouve un seul point qui est de plus à coordonnées entières $b=c=4$.
    Vu les symétries dans les expressions, on pouvait deviner que le résultat serait obtenu pour $a=b=c$.

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  • Octobre 2021, 4e défi

    le 22 octobre 2021 à 13:05, par Niak

    On a $abc+ab+bc+ac=(a+1)(b+1)(c+1)-13$ et l’on se ramène donc à maximiser le produit. On peut utiliser des méthodes d’analyse comme le suggère François, ou directement invoquer l’inégalité arithmético-géométrique : \[(a+1)(b+1)(c+1)\leq\left(\frac{a+1+b+1+c+1}{3}\right)^3=\left(\frac{12+3}{3}\right)^3=5^3\] borne clairement atteinte pour $a=b=c=4$.

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  • Octobre 2021, 4e défi

    le 22 octobre 2021 à 19:37, par bistraque

    Autre méthode : pour tout triplet de somme $12$, soit il vaut $(4, 4, 4)$ soit il existe deux éléments, disons $a$ et $b$, dont la différence vérifie $a - b \geq 2$ car sinon la somme ne pourrait être divisible par $3$. La valeur de $V = abc+ab+bc+ac$ calculée pour le triplet $(a-1, b+1, c)$ vaut $V' = V + (a-b-1)(c+1) > V$.
    Quelque soit le triplet de départ, on maximise la somme en réduisant un écart par ce procédé. Le maximum est nécessairement atteint avec $(4, 4, 4)$

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