Seule solution : (0,0).
Preuve 1 : si $(xy) \neq 0$ alors en divisant par $(xy)^{20}$, on obtient $\displaystyle \left(\frac{x} {y} \right)^{20} + \left(\frac{y} {x} \right)^{20} = 1$. Or l’un des deux termes $\displaystyle \left(\frac{x} {y} \right)$ ou $\displaystyle \left(\frac{y} {x} \right)$ est plus grand que $1$, ce qui est impossible.
Preuve 2:
$\displaystyle x^{40} + y^{40} - (xy)^{40} = \frac {3} {4} (x^{20} -y^{20})^2 + \frac {1} {4}(x^{20} + y^{20})^2 = 0$, et donc $x = y = 0$.

x⁴⁰+y⁴⁰=xy²⁰
Posons x²⁰=X et y²⁰=Y
L’équation devient: X²+Y²=XY
soit X²+Y²-XY=0 ou encore
X²+Y²-2XY+XY=0
(X-Y)²+XY=0
(X-Y)² =-XY
(X-Y)² ≥0
Il faut donc que -XY ≥0
Donc que X et Y soient de signe contraire ou qu’ils soient nuls
0r X et Y sont des puissances paires (=x²⁰ et y²⁰) donc de même signe (≥0)
Il n’y a donc qu’une seule solution
x=0; y=0

Pour montrer qu’il n’y a pas d’autre solution que la solution triviale, on peut aussi faire un changement de variable pour obtenir l’équation X2 + Y2 = XY et passer en coordonnées polaire, on obtient alors l’équation (sin teta) * (cos teta) = 1 qui n’a pas de solution.