$n^3-n=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs, parmi lesquels on trouve toujours au moins un multiple de $2$ et exactement un multiple de $3$. C’est donc toujours divisible par $6$, qui est aussi $2^3-2$, donc le PGCD de tous ces nombres.

$n^3-n=(n-1)n(n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs donc divisible par $3!=6$. Pour $n=2$ ce produit vaut $6$ donc $6$ est le plus grand entier divisant $n^3-n$ pour tout $n$.
Remarque plus générale :
Pour tout entier positif $n$ et tout entier strictement positif $p$ on a $(n+1)(n+2) \dots (n+p)=p!\dbinom{n}{n+p}$. Donc $p!$ divise p entiers consécutifs, et en prenant $n=0$, on voit que $p!$ est le plus grand entier strictement positif divisant $(n+1)(n+2) \dots (n+p)$ pour tout $n$.

Comme @François l’a indiqué 2 est le plus petit diviseur de $n^3-n$. Alors le plus grand diviseur n’est d’autre que $(n^3-n)/2$.

On peut démontrer par récurrence que $6$ divise $n³-n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
Puisque $0^3-0=0$ et $1^3-1=0$, alors $6$ divise $n^3-n$ pour $n=0$ et $n=1$
Si $k^3-k$ est divisible par $6$ pour $k\in\mathbb{N}$ alors $(k+2)^3-(k+2)=k^3+6k^2+12kk-2=k^3-k+6(k^2+2k+1)$ est divisible par $6$ également.