Il est remarquable que l’intégrale de Cauchy ou de Riemann soit continue par rapport aux données, en d’autres termes, si on change très peu une représentation graphique, son intégrale est très peu modifiée ce qui a permis d’utiliser efficacement cette notion d’intégrale dans toutes les sciences applicables : physique, biologie, économie etc...

L’extension de l’intégrale dont vous parlez, à savoir l’intégrale de Lebesgue permet d’accepter des fonctions plus irrégulières comme vous le dites, ces fonctions plus irrégulières sont en fait des fonctions pathologiques réservées aux mathématiciens du type : fonction définie sur [0, 1] qui vaut 1 sur les réels non rationnels et 0 sur les rationnels, à noter qu’on s’appuie ici sur le tiers-exclu. Le graphe de telles fonctions est indessinable et, ce qui va de pair, elles n’ont aucune signification en sciences applicables au sens déjà signalé.

Bonjour
Ce sont de bons exemples pour appeocher la notion d’intégrale aux élèves, ils permettent de mieux comprendre le pourquoi de la notion ce qui peut motiver les élèves à la suite du cours. Je trouve que c’est un excellent moyen didactique, pour les élèves et les enseignants , pour mieux comprendre l’intégrale