13 octobre 2010

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Sommes de séries de nombres réels

Échos de la recherche
D’Archimède à aujourd’hui les séries sont l’un des outils les plus précieux du mathématicien, du calcul de pi à la répartition des nombres premiers...
Piste rouge
Le 13 octobre 2010, par Jean-Paul Allouche - 8 commentaires

  • Sommes de séries de nombres réels

    le 13 octobre 2010 à 23:13, par C.Favre

    Pour aller plus loin et essayer de donner un sens raisonnable aux series
    divergentes, comme par exemple a l’identite
    1-2 + 3 -4 6+ ... = 1/4
    je renvoie a l’ouvrage « Séries divergentes et théories asymptotiques »
    de J-P Ramis edite par la SMF. D’autres references sont accessibles
    a partir de la page wikipedia
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Série_divergente

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    • Sommes de séries de nombres réels

      le 14 octobre 2010 à 13:40, par Jacques Lafontaine

      A propos de l’exemple magique

      Je me permets de signaler le passionnant petit
      livre d’André Weil

      Elliptic functions according to Eisenstein
      and Kronecker.

      Dans le premier chapitre, il fait semblant de ne pas connaitre les fonctions trigonométriques, et les retrouve
      grace aux séries

      \[\sum \frac{1}{{z-n}^p}\]

      dont l’introduction est motivée comme une manière naturelle
      de fabriquer des fonctions de période $1$.

      La magie de la série d’Euler est ainsi bien décortiquée.

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      • Sommes de séries de nombres réels

        le 14 octobre 2010 à 14:50, par Jean-Paul Allouche

        Merci pour ces deux messages. La première référence (Ramis) est de très bon aloi, mais peut-être pas facile à lire pour tous les lecteurs d’Images des Math. La seconde (Weil) est bien sûr passionnante (et pas très facile non plus) : au passage on peut se (re-)demander ce que signifie vraiment « manière naturelle » (voir sur ce site le billet de M. Audin et les commentaires qui le suivent).

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  • Sommes de séries de nombres réels

    le 14 octobre 2010 à 17:24, par Jacques Lafontaine

    d’accord, le mot naturel prête à discussion.

    Posons la question autrement : comment faire pour écrire explicitement une fonction périodique, en disposant des
    quatre opérations ... et de la somme infinie (peut-être pas si naturelle que ça, après tout) ?

    j’en profite pour corriger un typo : il s’agit dans mon message précédent de la série

    \[\sum \frac{1}{(z-n)^p}\]
    où $n$ parcourt l’ensemble des entiers relatifs,
    et $p^$ un entier au moins égal à $2$

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    • Sommes de séries de nombres réels

      le 15 octobre 2010 à 13:01, par Jean-Paul Allouche

      Sourires. Oui, « naturel » versus, hmm versus quoi ? « culturel » ? comme l’opposition nature/culture dans les devoirs de philo. de terminale ? En tout cas j’aime bien la question d’écrire explicitement (et assez simplement) une fonction périodique de période $1$ avec les quatre opérations et... l’infini.

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  • Sommes de séries de nombres réels

    le 18 octobre 2010 à 05:18, par Marc JAMBON

    J’aurai préféré comme titre, somme de séries de nombres rationnels, tous les exemples que vous donnez jusqu’à la constante d’Euler sont d’ailleurs effectivement des séries de nombres rationnels et c’est précisément par les séries qu’on peut approcher (plutôt qu’atteindre) des nombres réels non rationnels comme le confirme vos exemples. Quant à la constante d’Euler, je ne pense pas que la série que vous donnez en permette une bonne approche, je ne sais pas s’il existe de meilleures séries de nombres rationnels qui permettent de l’approcher raisonnablement (comme pour pi).

    En série de Fourier, c’est la démarche inverse, on recherche le développement en série d’une fonction donnée, là il s’agit bien de séries de nombres réels, ce qui permet d’approcher la fonction par un polynôme trigonométrique, mais le but n’est plus le calcul de la série puisqu’on connaît déjà sa somme. A noter au passage que, même avec de bonnes hypothèses sur la fonction, la convergence est très lente.

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    • Sommes de séries de nombres réels

      le 22 octobre 2010 à 21:41, par Jean-Paul Allouche

      Merci pour ces remarques. Effectivement les séries concernées sont à termes rationnels, sauf pour la constante d’Euler. J’observe néanmoins que je serais tout autant « fasciné » par une formule qui dirait que

      \zeta(\sqrt7) = 1/1^\sqrt 7 + 1/2^\sqrt 7 + 1/3^\sqrt 7...

      s’exprime simplement en fonction disons du logarithme de \pi et de e^\gamma/4.

      Pour la convergence de la série qui définit la constante d’Euler, elle est très lente en effet. Une manière plus efficace de la calculer se trouve par exemple dans un article assez ancien d’E. A. Karatsuba, intitulé On the computation of the Euler constant, où elle utilise la formule :

      \gamma = 1 - \int_0^\infty e^-t t \log t \ \rm dt

      et une expression de l’intégrale ci-dessus comme somme de deux séries rapidement convergentes.

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  • Sommes de séries de nombres réels

    le 13 novembre 2010 à 15:26, par Jean-Paul Allouche

    Errata :

    D’abord dans mon dernier commentaire, il faut bien sûr remplacer par e-t t log t par e-t t log t (jsMath a « refusé » d’interpréter correctement l’expression en LaTeX) ;

    Ensuite je remercie R. Manfredi de m’avoir signalé les imprécisions ou coquilles suivantes :

    — il semble que la série F historiquement considérée par Euler ait pour terme général (-1)n n ! et que la sommation commence à n = 0, ce qui donne pour les premières sommes partielles 1, 0, 2, -4, 20,... ;

    — la « valeur » de cette série n’est pas 0,596347362123 mais 0,596347362323 ;

    — dans la démonstration de la divergence de la série harmonique, il faut remplacer « Oreste » par Oresme.

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