Autant que je sache, Goodstein n’a pas écrit son énoncé en vue de fabriquer un indécidable ; il s’agit surtout d’un joli exercice d’application de la théorie des ordinaux.

Maintenant, sur la question de « la » vérité :

• D’abord, je pense qu’on peut en effet considérer que la théorie des ordinaux (du moins celle des ordinaux « pas trop grands », car on n’a pas besoin d’aller plus loin pour Goodstein), est intuitivement vraie.

• Ensuite, d’après ce que j’ai compris en faisant quelques recherches, l’idée de base pour prouver l’indécidabilité du théorème de Goodstein est de montrer que ce théorème implique la consistance de la logique de Peano. (Rappelons que le second théorème d’incomplétude énonce qu’il est impossible de prouver que l’axiomatique de Peano est consistante à partir de cette axiomatique elle-même). J’ignore s’il y a en fait équivalence, mais faisons comme si. Or, si les axiomes de Peano sont « intuitivement vrais », il va de soi que leur consistance l’est également ! En d’autres termes, il n’est pas raisonnable de supposer que le théorème de Goodstein serait faux, à moins de vouloir rejeter toute l’axiomatique de Peano (puisqu’une axiomatique contradictoire n’est pas acceptable).

• Voilà pour les suites de Goodstein. Maintenant, il y a certainement d’autres énoncés qui sont indécidables mais qui ne sont pas équivalents à la consistance de l’axiomatique. À titre personnel (c’était aussi le point de vue de Gödel lui-même), j’estime que l’indécidabilité d’une proposition ne change rien au fait que celle-ci soit, « en vérité », ou bien juste ou bien fausse, mais pas les deux. C’est comme de savoir, mettons, si le tout premier humain à avoir franchi le détroit de Béring était un homme ou une femme : on ne saura vraisemblablement jamais, mais la réponse est unique malgré tout.

Quelques remarques sur le post de Pierre Colmez et le commentaire de Patrick Popescu-Pampu :

1) L’article de Goodstein est paru dans le Journal of Symbolic Logic en 1947, sous le titre « Transfinite ordinals in recursive number theory ». Dès l’origine le lien était fait avec un théorème de Gentzen (1936) sur la consistance de l’arithmétique de Peano. L’énoncé de Gentzen est le suivant « l’induction jusqu’à l’ordinal \epsilon_0 entraine la consistance de l’arithmétique ». Ici je simplifie un peu, car il s’agit de l’induction pour une classe très réduite d’énoncés. L’ordinal \epsilon_0 est la limite (ou l’union) des ordinaux \omega_n définis par \omega_0 = \omega et \omega_n + 1 = \omega_n^\omega. Ici \omega désigne le plus petit ordinal dénombrable, c’est à dire les entiers. Il résulte du théorème de Gödel que l’induction jusqu’à l’ordinal \epsilon_0 (énoncé que l’on peut formuler dans le langage de l’arithmétique) n’est pas démontrable à partir des axiomes de Peano.

2) Le théorème de Goodstein est certainement vrai dans le sens suivant : pour chaque entier n fixé, il existe une preuve dans l’arithmétique de Peano de la suite de Goodstein de terme initial n, à savoir la suite elle même (qui finit par valoir 0). Ce qui n’est pas démontrable c’est l’énoncé pour tout n (il y a une grande différence entre l’existence, pour chaque entier n, d’une démonstration pour un énoncé E (n), et l’existence d’une démonstration pour l’énoncé \forall n E (n)).

3) Pour chaque entier n, appelons h (n) le plus entier tel que la suite de Goodstein de terme initial n s’annule à partir de h (n). Il a été démontré par Weiermann que la fonction h croit plus vite que toute fonction définissable dans l’arithmétique de Peano. Ceci fournit, me semble-t-il une bonne explication au fait qu’il ne soit pas possible de démontrer que h est effectivement une fonction dans l’arithmétique de Peano.

4) Je ne vois pas en quoi le théorème de Goodstein aurait un rapport avec la non consistance éventuelle de l’arithmétique. Celle-ci, mais c’est une opinion personelle, me semble extrêmement improbable. Rappelons que le collègue qui la démontrerait empocherait illico les six millions de dollars des prix Clay restants. En effet la non consistance de Peano entrainerait a fortiori celle de Zermelo-Frenkel, et donc on aurait une démonstration de tous les énoncés formulables dans le langage de la théorie des ensembles...

Bonjour,

une phrase que j’aime beaucoup pour faire comprendre l’implication à mes étudiants : « mange ta soupe ou tu n’auras pas de dessert ! ».

Est-ce qu’on s’en sert souvent ?

Vous écrivez : « je pourrais vous l’expliquer sans jargon ». Je suis preneur !