21 mai 2011

14 messages - Retourner à l'article

Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

Échos de la recherche
On énonce le théorème dit de la sphère chevelue. On donne une démonstration de ce théorème, due au mathématicien John Milnor, récent prix Abel de mathématiques.
Piste noire
Le 21 mai 2011, par Christine Huyghe - 14 commentaires

  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 21 mai 2011 à 10:20, par amic

    Jolie démonstration.

    Il y a juste une petite confusion entre boule et sphère dans la conclusion…

    Répondre à ce message

    • Théorème de point fixe

      le 26 novembre 2011 à 13:33, par Marc JAMBON

      Dans le théorème de point fixe du à Brouwer, je ne vois pas la correction, il devrait y avoir deux fois le mot boule ou exclusif deux fois le mot sphère.

      Répondre à ce message

  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 21 mai 2011 à 10:40, par Christine Huyghe

    Merci, c’est corrigé. Cordialement, C. Huyghe

    Répondre à ce message

  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 22 mai 2011 à 16:59, par Christophe Boilley

    « Il y a toujours un épi quand on se coiffe » si on souhaite qu’au bord de sa coiffure, les cheveux tombent vers le bas. En effet, un champ de vecteur différentiable sur la demi-sphère normal en son bord se prolonge par symétrie en un champ de vecteur différentiable sur la sphère (au besoin en redonnant un petit coup de peigne le long de ce bord). Mais il existe des champs différentiables ne s’annulant pas sur une demi-sphère, ce qui permet de se coiffer sans épi en brossant par exemple ses cheveux vers l’arrière.

    Répondre à ce message

    • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

      le 25 mai 2011 à 09:42, par Christine Huyghe

      Effectivement, merci pour ces précisions : je n’ai pas détaillé ce point.

      Cordialement.

      Répondre à ce message

  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 23 mai 2011 à 09:52, par François Brunault

    Merci pour cette démonstraion ! Je trouve qu’elle illustre bien le fait que pour démontrer un résultat dans un univers donné (ici la sphère), il est souvent utile de s’en « extraire » et de travailler dans un univers plus grand (ici l’espace à 3 dimensions).

    Répondre à ce message

  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 26 mai 2011 à 17:14, par Ilies Zidane

    Il y a une autre conséquence à ce théorème qui ne cesse de m’étonner : Pour toute fonction continue de la sphère S2 à valeurs dans R2 il existe un point de la sphère qui a même image que son antipode !
    En particulier, sur Terre il y toujours un point où la température et la pression sont les mêmes qu’au point diamétralement opposé !

    A noter également que le théorème présenté est vraie en toutes dimensions de la sphère sauf 0,1,3 et 7 !

    Répondre à ce message

    • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

      le 27 mai 2011 à 02:16, par Christine Huyghe

      Cher Ilies Zidane

      Je ne pense pas que ce que vous présentez comme une conséquence sur les fonctions continues de la sphère S^2 à valeurs dans R^2, en soit une (même si l’énoncé, le théorème de Borsuk Ulam, que vous donnez, est vrai).

      En revanche, ce que vous dites sur l’extension du théorème de
      la sphère chevelue est faux : le théorème s’étend aux sphères de dimension paire (donc aux sphères de R^3, R^5, ... R^(2n+1)). La démonstration est la même que pour la sphère dans R^3, le terme (1+t^2)^(1/2) étant alors toujours à une puissance impaire, dans la formule de calcul du volume.

      Codialement.

      Répondre à ce message

      • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

        le 4 juin 2011 à 15:24, par Ilies Zidane

        Effectivement j’ai confondu, le thorème de Borsuk Ulam résulte de la non trivialité du groupe fondamentale du cercle.

        Par contre, je parlais bien des sphères parallélisables en ayant en tête une autre preuve que celle ci.

        Répondre à ce message

        • Sphères parallélisables

          le 15 juin 2011 à 16:21, par Michèle Audin

          je parlais bien des sphères parallélisables

          Ouh là là ! ne faisons-nous pas monter un peu trop le niveau ?

          Dire qu’une sphère n’est pas parallélisable, ce n’est pas dire qu’elle a un champ de vecteurs tangent qui ne s’annule pas. La démonstration donnée ici permet de montrer, comme l’a dit l’auteur, que sur une sphère de dimension paire, tout champ de vecteurs doit s’annuler quelque part. Rien de plus.

          Les sphères parallélisables sont celles de dimensions 0, 1, 3 et 7 (c’est un très difficile théorème d’Adams). Mais toutes les sphères de dimension impaire possèdent des champs de vecteurs qui ne s’annulent pas (et ça, c’est très facile à faire...).

          Répondre à ce message

  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 6 juin 2011 à 22:37, par Gilles

    Il est facile de peigner une sphère en laissant 2 épis (méridiens).
    Pouvez-vous donner un exemple où seulement 1 épi reste ? Et pour 3 épis ?
    Existent-ils des valeurs n pour lesquels il est impossible de peigner la sphère en laissant juste n épis ?

    Répondre à ce message

    • Exemples de champ de vecteurs s’annulant fois sur la sphère

      le 19 juin 2011 à 22:23, par Christine Huyghe

      Oui, pour tout $n$, on peut trouver un champ de vecteurs s’annulant $n$ fois sur la sphère. Voici un exemple avec $n=1$.

      PNG - 31.2 ko
      exemple 1 de champ de vecteurs
      Un champ de vecteurs s’annulant une seule fois sur la sphère
      Document joint : champ2.png
      Répondre à ce message

      • Exemples de champ de vecteurs s’annulant fois sur la sphère

        le 19 juin 2011 à 22:39, par Christine Huyghe

        Et voici un autre dessin de champ de vecteurs s’annulant
        plusieurs fois sur la sphère (merci à Michèle Audin pour
        ces dessins).

        Document joint : champ_4.png
        Répondre à ce message

  • Savez-vous pourquoi le petit Nicolas a toujours un épi ?

    le 4 décembre 2011 à 08:25, par Marc JAMBON

    La seule correction possible pour le théorème de Brouwer est d’écrire boule les deux fois.
    Ci-dessous le nouvel énoncé corrigé.

    Toute application continue de la boule dans elle-même possède un point fixe, c’est-à-dire qu’il existe un point x de la boule tel que f(x) = x, (autrement dit x est fixe par f).

    Le théorème est nécessairement faux pour la shère (superficielle), en n’importe quelle dimension, car une homothéthie centrée au centre de la sphère de rapport – 1 est une application continue de la sphère (superficielle) dans elle-même et n’a pas de point fixe.

    Répondre à ce message
Pour participer à la discussion merci de vous identifier : Si vous n'avez pas d'identifiant, vous pouvez vous inscrire.

Actualités des maths