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La curva de Menger, por Jos Leys.

La curva de Menger, por Jos Leys.

¿Qué es una curva ? A lo largo de los siglos, los matemáticos han diversificado sus puntos de vista sobre las curvas. Los antiguos griegos consideraron las rectas, las circunferencias, ciertas espirales, luego las parábolas, las elipses, etc. El bosque de curvas se enriqueció muchísimo gracias a la explosión de la geometría algebraica en el siglo XIX. Sin embargo, en los inicios del siglo XX, objetos más extraños hacen su aparición, haciendo necesario clarificar la noción de curva. Entre las numerosas definiciones posibles, existe una que es ’’topológica’’. Un subconjunto del plano es una curva del plano (o del espacio) es una ’’curva’’ si puede ser ’’aproximada’’ por colecciones finitas de discos (o de bolas), a condición que dichos discos solo puedan intersecarse de a dos (nunca de a tres). Para ser más precisos -y, probablemente, menos comprensibles-, para todo número r>0, se debe poder hallar una unión finita y conexa de bolas de radios inferiores a r que recubren la curva y que no se intersecan nunca de a tres. Por ejemplo, una circunferencia es una curva, pues se la puede cubrir mediante un rosario de discos tan pequeños como se quiera, dispuestos uno tras el otro, de modo que cada uno interseca al anterior y al siguiente, sin intersección triple.

La figura representa la ’’curva de Menger’’ : ella se obtiene partiendo de un cubo formado de 3x3x3 cubos pequeños retirando el cubo pequeño central, así como los cubos pequeños en los centros de las caras. Quedan entonces 20 cubos pequeños : a estos se los descompone en 27 cubos pequeños, de los cuales conservamos 20. Y recomenzamos... ¡hasta el infinito ! Lo que queda al final (¡porque algo queda !) es la curva universal de Menger.


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