Défi de la semaine
Soient \([PA]\), \([PB]\) et \([QR]\) trois segments tangents à un cercle comme ci-dessous.
Sachant que \(PA=5\,\)cm, combien mesure le périmètre du triangle \(PQR\) ?
Figure du défi
Solution du deuxième défi de septembre 2024
L’opération que l’on répète cinq fois consiste, s’il y a un volume \(V\) d’eau dans le tonneau, à en vider la moitié puis à rajouter un litre. À la fin de l’opération, il reste donc \(1+V/2\) litres.
En répétant deux fois l’opération, il reste \(1+(1+V/2)/2=1+1/2+V/4\) litres. Aux étapes suivantes, il reste donc \(1+(1+1/2+V/4)/2=1+1/2+1/4+V/8\), puis \(1+1/2+1/4+1/8+V/16\) et enfin \(1+1/2+1/4+1/8+1/16+V/32 = 1+15/16+V/32=3\).
On en déduit que \(V=32\times\frac{17}{16} = 34\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
12h35
La position des points Q et R n’est pas précisée, donc le périmètre du triangle PQR est indépendant de la position des points Q et R.
Dans le cas limite où le point Q est confondu avec le point A et le point R avec le point P, le périmètre est égal à 2 fois AP.
Le périmètre du triangle PQR est donc 10 cm.
13h40
En notant \(C\) le point de contact du cercle avec la droite \((QR)\), on a \(QA= QC\) et \(RC=RB\). De plus \(PA=PB\)
Donc \(PR+PQ+QR=PR+PQ+QC+CR=PR+RB+PQ+QA= PA+PB = 10 cm \).
Le périmètre du triangle \(PQR\) ne dépend pas de la position des points \(Q\) et \(R\) et vaut \(10 cm\).
18h20
Je trace \(O\) le centre du cercle et \(H\) le point auquel la droite \((QR)\) est tangente au cercle.
\(OB=OH\) et comme \(OR\) est commun aux deux triangles \(OBR\) et \(OHR\) alors \(BR=RH\).
On montre de la même manière que \(AQ=QH\) dans les triangles \(OAQ\) et \(OQH\) et on montre de la même manière que \(BP=AP\) dans les triangles \(OBP\) et \(OAP\) ou on montre donc que \(BP=5cm\).
Le périmètre du triangle \(QRP\) est égal à \(QH+HR+RP+PQ\) ou encore \(AQ+BR+RP+PQ\) ou encore \(AP+BP\) soit \(5cm+5cm=10cm\).
15h27
Réflexe d’un ancien prof pointilleux. Dans votre preuve du fait que \( BR= RH\) il eût fallu signaler que les triangles \(OBR\) et \(OHR\) sont rectangles. Pour montrer que deux triangles sont isométriques il faut trois égalités. Souvenir de ma jeunesse avec » les cas d’égalité des triangles ».