Défi de la semaine
Un tonneau est rempli d’eau. On vide la moitié de l’eau qu’il contient puis on ajoute un litre d’eau. Après avoir répété ces deux opérations cinq fois de suite, il reste trois litres d’eau dans le tonneau.
Quelle est la contenance du tonneau ?
Solution du premier défi de septembre 2024
On découpe dans la figure un nouveau rectangle de \(3\) cm\(^2\) comme ci-dessous.
Solution
Par symétrie, le rectangle qui reste en haut à droite est en fait un carré et a pour surface \(10-3=7\) cm\(^2\). Son côté a donc pour longueur \(\sqrt{7}\,\)cm. Les rectangles de surface \(3\) cm\(^2\) ont donc un petit côté de longueur \(3/\sqrt{7}\). Comme c’est aussi le côté du petit carré, celui-ci a pour surface \(\frac 97{\rm cm}^2\)
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
12h04
Bonjour,
En partant du résultat final et en procédant à l’envers, c’est à dire en soustrayant 1 et en multipliant par 2 et en répétant cette opération cinq fois on obtient successivement : 4, 6, 10, 18 et 34.
La contenance du tonneau est donc 34 litres.
22h38
Test: \( u_n \)
22h42
Donc notre dernier enfant à ma femme et moi-même est en terminale et commence les suites dans la spé’ math’.
L’énoncé est donc clairement \( u_{n}=1/2.u_{n-1}+1 \).
22h44
\( u_{n-1}=1/2. u_{n-2}+1\) qui conduit à \( u_{n}=1/2^2. u_{n-2}+1/2+1\).
22h50
Une troisième ligne que je n’écris fait apparaitre \( u_{n}=1/2^n.(u_{0}-2)+2\).
Quand on inverse cette formule, on obtient \( u_{0}=2^n.(u_{n}-2)+2\).
Ici, \( n=5\) et \( u_{5}=3\) alors évidemment \( u_{0}=2^5.(3-2)+2=34\).
22h54
Si il reste \( 2\) litres, le tonneau contient \( 2\) litres 🙂
16h06
En bref, si \( u_0>2\) le tonneau se vide pour atteindre la valeur limite de \(2\) litres. Si \( u_0<2\) le tonneau se remplit pour atteindre la valeur limite de \(2\) litres et si \( u_0=2\) le tonneau reste toujours à \(2\) litres.
10h20
Ah, effectivement!
Joli!