Maths de dessinateurs

Faire des non-maths qui soient des maths

C’était en juin 1997, dans ce merveilleux endroit qu’est le Parc Valrose (campus de la Faculté des sciences de l’Université de Nice). J’assistais à la finale du « rallye mathématique » de l’Académie. Le parc était plein d’enfants (élèves des lycées et collèges) se livrant à toutes sortes d’activités. Soudain une autre collègue arrive, hilare.

Cette anecdote, qui ouvre mon article Ça n’est pas des maths¹Frédéric Pham. Ça n’est pas des maths (Repères IREM n°58, janvier 2005), n’a pas cessé depuis d’habiter ma réflexion sur les maths. Qu’est-ce donc que les maths ?

Pour ces enfants – comme l’écrit Anne Siety²Anne Siety. Des maths sans maths (billet dont le titre a inspiré, en contrepoint, le sous-titre du présent billet !),

Pour le grand public, un objet de respect à garder à distance ?

« Vous êtes mathématicien, ouh là là ! » – sous-entendu : comment peut-on être mathématicien, vous êtes sûrement très fort, moi les maths je n’y ai jamais rien compris, la logique, vous savez, moi je fonctionne au feeling …

Un livre récent de David Bessis³David Bessis. Mathematica, une aventure au cœur de nous-mêmes (Éd. du Seuil, janvier 2022), grand succès de librairie, démonte de façon très amusante ce préjugé selon lequel les mathématiciens seraient des êtres à part ayant développé un pouvoir spécial : celui de « penser de façon logique ».

La « posture du petit enfant », c’est un peu ce que j’appelle l’oubli des savoirs dans mon article déjà mentionné. Et le « plaisir de se tromper », qui peut sembler si contraire au principe même de l’enseignement, nos étudiants aussi peuvent y accéder, pour peu qu’ils soient mis dans des situations favorables :

Et en écho à la citation de Thurston sur la communication de personne à personne :

Mais alors, si la communication des idées mathématiques est quelque chose de si personnel, de si interpersonnel, faut-il renoncer à la confier au canal de l’écrit ? L’écriture mathématique est-elle condamnée à ne produire que des textes illisibles ? Si un mathématicien écrit, c’est bien sûr d’abord pour lui-même, pour soumettre ses intuitions au crible de la rigueur logique (pour « découvrir à quel endroit il pense faux »). Mais c’est quand-même un peu aussi dans l’espoir d’être lu ! La plupart des mathématiciens essayent de mettre un peu de « pensée humaine » dans leurs textes, d’aider le lecteur à « lire entre les lignes » de leur formalisme. Et cela marche plus ou moins, dans la mesure où les intuitions de l’auteur entrent en résonance avec certaines intuitions du lecteur – ce qui arrivera plus facilement si auteur et lecteur partagent une même culture scientifique. Mais comment jeter des ponts avec des gens de culture différente ? La question me touche d’autant plus qu’à l’origine j’étais physicien, et suis entré en mathématique « par une porte dérobée » – avec une immense reconnaissance pour les maîtres qui ont rendu possible cette transgression.
Et la clé de cette porte dérobée, c’était des dessins.

Il est beaucoup question de dessins dans mon article précédemment cité, et notamment de la place que peuvent prendre les dessins dans notre enseignement. Mais tout récemment, alors que je suis à la retraite depuis longtemps, un déclic s’est produit en moi à la lecture du joli billet d’Anne Siety déjà mentionné :

J’ai beaucoup fait travailler mes étudiants sur des dessins que je leur fournissais (des dessins tracés par l’ordinateur !). Mais Anne Siety nous parle de tout autre chose : du geste de dessiner ! Dire que ce geste « entraîne la pensée à sa suite » rejoint l’idée – chère à Bernard Teissier⁴Frédéric Pham. Faire des maths et savoir conter (version originale d’un article à paraître en traduction anglaise dans le volume en l’honneur de Bernard Teissier pour son 80e anniversaire) comme à David Bessis – qu’on ne comprend qu’avec le corps. Et c’est dans cet esprit que je viens de réécrire – en le repensant complètement – un article que j’avais « dans mes cartons » (c’est-à-dire en fait dans mon ordinateur) sur la notion d’exponentielle, sujet que j’ai toujours trouvé très intéressant à enseigner. L’idée est de partir du point de vue d’un dessinateur : comment puis-je dessiner une exponentielle à main levée ? comment puis-je voir qu’une courbe tracée sur le papier représente une exponentielle ? Et quel cap toujours changeant ma main doit-elle s’efforcer de suivre (avec l’aide de l’ordinateur) pour dessiner une exponentielle sur l’écran ? Cette « exponentielle de dessinateur », ça n’est peut-être « pas des maths » ! Mais ne peut-on y voir, au delà de la forme, l’essentiel de l’idée qu’un mathématicien se fait d’une exponentielle ? Le lecteur du présent billet pourra en juger en lisant l’article L’exponentielle au fil du temps.